一道小学数学题

狗主出了道有趣的小学数学题，读者可以独立思考，交流思路。

xx 喝了 347 瓶啤酒，已知 7 个空瓶换一瓶新的，问共买了几瓶？

蓄水池模型

这是我想到的最简单的解法，应用了小学经典的蓄水池模型，将题目换个说法：有水池，初始注入 x 升水，之后以 1 升/秒的速度注水，出水口则以 7 升/秒速度出水，水剩余不足 7 升时停止（设y是最后剩余的水量），此过程持续了 t 秒。总共注入了 347 升水，问 x 是多少？

条件1：总注水量 = 初始水量 + 持续注水量，有

$$347=x+t\times 1\text{\hspace{1em}(1)}$$

条件2：初始注水量 = 消耗速度*时间+余量，有

$$x=(7-1)t+y\text{\hspace{1em}(2)}$$

将（2）代入 （1），有

$$7t+y=347$$

即

$$t=\frac{347-y}{7}$$

将$0\le y\le 7$代入得$49\le t\le 49$，即 t = 49，那么 x = 298 。

七进制

把7换成10的话，可以根据表示的数字来拆解送酒数目，例如初始买了345瓶酒，最后可以喝到【300 + 30（300送30）+ 3（送的30再送3）】 + 【40 + 4（40送4）】 + 【5（5瓶不送）】+【1（3个分组合计送的3+4+5超过10了，要再送1）】。 类比来说，如果七进制数 $(345{)}_7$ 代表初始买酒数，最终可以喝到的数目是：

$$[3\times 7^2+3\times 7+3]+[4\times 7+4]+[5]+[1]$$

其中最后的 1 来自跨组累积：$3+4+5$ 超过 7，可以再送 1 瓶。 按照这个思路，首先$x<(347{)}_{10}=(1004{)}_7$，可知x可以用四位数 $(abcd{)}_7$表示，最终喝到的瓶数为：

$$\begin{array}{rl}& \left(a\times 7^3+a\times 7^2+a\times 7+a\right)\\ & +\left(b\times 7^2+b\times 7+b\right)\\ & +\left(c\times 7+c\right)+d+e=347.\end{array}$$

注：e为跨组组累积送酒数，a、b、c、d均小于7，所以$e\le 3$。

整理得到：

$$400a+57b+8c+d+e=347.$$

首先 $400a\le 347$，$a<1$ 只能为0，说明实际可以用三位数$(bcd{)}_7$表示，且$e\le 2$。 b可以表示为：

$$b=\frac{347-8c-d-e}{57}$$

显然 $b\le \frac{347}{57}=6$。

根据$b,c,d\le 6$与$e\le 2$，可知：

$$b=\frac{347-8c-d-e}{57}\ge \frac{347-6\times 8-6-2}{57}=6$$

综合$6\le b\le 6$，所以$b=6$ 更新方程为

$$8c+d+e=5$$

由于$8c<5$，得$c=0$，更新方程为：

$$d+e=5$$

显然 e 为1，此时d = 4。 综上，初始酒数为 $604_7$，即$298_{10}$

等比数列

思路为：第一轮初始酒数x的1/7换成赠品，第二轮把第一轮赠品和余量的1/7换成赠品，如此反复，理想状态可以使用等比数列来表示，即：

$$x+\frac{x}{7}+\frac{x}{7^2}+\cdots +\frac{x}{7^{n-1}}+e=347$$

这个角度比较复杂，我想不清楚。

其它想法

初等数学有个专题叫数论，对整数与余数的性质研究地比较深入，这个角度也许有新的解法，但是我已经忘光了。